Logika Matematika - Mark Blue Notes

1.  Misalkan m dan n bilangan bulat.
   1. Buktikan kebenaran pernyataan "jika 2m + n ganjil maka m dan n keduanya ganjil".
   2. Rumuskan konvers pernyataan pada a. Apakah konvers ini bernilai benar? Jika tidak benar, berikan contoh pengingkarnya.

2. Diberikan pernyataan "tidak semua kelipatan 6 adalah kelipatan 9".
   1. Rumuskan pernyataan ini dengan pernyataannya yang ekuivalen tanpa menggunakan kata "tidak" di awal kalimat.
   2. Buktikan kebenaran pernyataan yang Anda rumuskna pada a.

3. Diberikan bilangan \(a_1,a_2,...,a_n\). Buktikan paling tidak ada satu bilangan \(a_p,p\in\{1,2,...,n\}\) sehingga \(a_p\geq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k\). (Petunjuk: bisa digunakan metode kontradiksi).
4. Buktikan pernyataan berikut dengan menggunakan induksi matematika.
   1. \(n^3+2^n\) habis dibagi oleh 3 untuk setiap bilangan asli n.
   2. \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>2(\sqrt{n+1}-1)\) untuk setiap bilangan asli n.
5. Tentukan banyak bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan 500 dan habis dibagi oleh:
   1. 2 atau 3, tetapi tidak oleh 6.
   2. selain dari 2,3, dan 5.
6. Buktikan kebenaran pernyataan tentang himpunan kuasa sebagai berikut:
   1. Untuk setiap himpunan A dan B berlaku \(\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)\subseteq\mathcal{P}(A\cup{B})\).
   2. Untuk setiap himpunan A dan B berlaku \(\mathcal{P}(A\times{B})=\mathcal{P}(A)\times\mathcal{P}(B)\).
7. Gambarkan dalam sebuah diagram panah untuk menyatakan relasi sebagai berikut:
   1. Relasi "anggota dari", \(X=\{0,1,2\}\) ke himpunan kuasa \(Y=\mathcal{P}(X)\).
   2. Relasi "akar dari", \(X=\{0,1,2,3\}\) ke himpunan persamaan \(Y=\{x^2-1=0,2x=4,(x+1)(x^2-3x+2)=0\}\).
8. Tentukan \(f(A)\) image himpunan A terhadap fungsi \(f\) yang didefinisikan sebagai berikut:
   1. \(f(x)=sin(x),A=[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}]\).
   2. \(f(x)=[x]+[\frac{\pi}{2}],A=[0,3]\).
9. Tentukan pre-image dari himpunan terhadap pemetaan berikut ini.
   1. \(f^{-1}(\{-1\})\) di mana \(f:\mathbb{Z}\rightarrow\{-1,1\}\) dengan \(f(n)=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\).
   2. \(f^{-1}(\{2,4\})\) di mana \(f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Q}\) dengan \(f(n)=\frac{2n}{n}\).
10. Diberikan fungsi \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) yang didefinisikan sebagai berikut:
    \(\hspace{12em}\) \(f(x):={ \begin{cases} 2x-1 & \text{jika $x<0$} \\ 0 & \text{jika $x=0$} \\ x+1 & \text{jika $x>0$.} \end{cases} }\)
    1. Tentukan rumus untuk inversnya \(f^{-1}\). Apakah invers \(f^{-1}\) merupakan sebuah fungsi?
    2. Gambarkan grafik \(f\) dan \(f^{-1}\).

Penyelesain: