- Misalkan m dan n bilangan bulat.
- Buktikan kebenaran pernyataan "jika 2m + n ganjil maka m dan n keduanya ganjil".
- Rumuskan konvers pernyataan pada a. Apakah konvers ini bernilai benar? Jika tidak benar, berikan contoh pengingkarnya.
- Diberikan pernyataan "tidak semua kelipatan 6 adalah kelipatan 9".
- Rumuskan pernyataan ini dengan pernyataannya yang ekuivalen tanpa menggunakan kata "tidak" di awal kalimat.
- Buktikan kebenaran pernyataan yang Anda rumuskna pada a.
- Diberikan bilangan \(a_1,a_2,...,a_n\). Buktikan paling tidak ada satu bilangan \(a_p,p\in\{1,2,...,n\}\) sehingga \(a_p\geq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k\). (Petunjuk: bisa digunakan metode kontradiksi).
- Buktikan pernyataan berikut dengan menggunakan induksi matematika.
- \(n^3+2^n\) habis dibagi oleh 3 untuk setiap bilangan asli n.
- \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>2(\sqrt{n+1}-1)\) untuk setiap bilangan asli n.
- Tentukan banyak bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan 500 dan habis dibagi oleh:
- 2 atau 3, tetapi tidak oleh 6.
- selain dari 2,3, dan 5.
- Buktikan kebenaran pernyataan tentang himpunan kuasa sebagai berikut:
- Untuk setiap himpunan A dan B berlaku \(\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)\subseteq\mathcal{P}(A\cup{B})\).
- Untuk setiap himpunan A dan B berlaku \(\mathcal{P}(A\times{B})=\mathcal{P}(A)\times\mathcal{P}(B)\).
- Gambarkan dalam sebuah diagram panah untuk menyatakan relasi sebagai berikut:
- Relasi "anggota dari", \(X=\{0,1,2\}\) ke himpunan kuasa \(Y=\mathcal{P}(X)\).
- Relasi "akar dari", \(X=\{0,1,2,3\}\) ke himpunan persamaan \(Y=\{x^2-1=0,2x=4,(x+1)(x^2-3x+2)=0\}\).
- Tentukan \(f(A)\) image himpunan A terhadap fungsi \(f\) yang didefinisikan sebagai berikut:
- \(f(x)=sin(x),A=[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}]\).
- \(f(x)=[x]+[\frac{\pi}{2}],A=[0,3]\).
- Tentukan pre-image dari himpunan terhadap pemetaan berikut ini.
- \(f^{-1}(\{-1\})\) di mana \(f:\mathbb{Z}\rightarrow\{-1,1\}\) dengan \(f(n)=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\).
- \(f^{-1}(\{2,4\})\) di mana \(f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Q}\) dengan \(f(n)=\frac{2n}{n}\).
- Diberikan fungsi \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) yang didefinisikan sebagai berikut:
\(\hspace{12em}\) \(f(x):={ \begin{cases} 2x-1 & \text{jika $x<0$} \\ 0 & \text{jika $x=0$} \\ x+1 & \text{jika $x>0$.} \end{cases} }\)- Tentukan rumus untuk inversnya \(f^{-1}\). Apakah invers \(f^{-1}\) merupakan sebuah fungsi?
- Gambarkan grafik \(f\) dan \(f^{-1}\).
Penyelesain:
